Question

【題目】如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E為BC點，F(xiàn)棱AC上，且AF=3FC．

（1）求三棱錐D﹣ABC的體積；
（2）求證：AC⊥平面DEF；
（3）若M為DB中點，N在棱AC上，且CN= CA，求證：MN∥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，

∴三棱錐D﹣ABC的體積V= =

（2）證明：取AC的中點H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F為CH的中點．

∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF

（3）解：連CM，設CM∩DE=O，連OF．

由條件知，O為△BCD的重心，CO= CM．

當CN= CA時，CF= CN，∴MN∥OF．

∵MN平面DEF，OF平面DEF，

∴MN∥平面DEF．

【解析】（1）直接利用體積公式，求三棱錐D﹣ABC的體積；（2）要證AC⊥平面DEF，先證AC⊥DE，再證AC⊥EF，即可．（3）M為BD的中點，連CM，設CM∩DE=O，連OF，只要MN∥OF即可．