Question

【題目】已知拋物線E：x2=2py（p＞0），直線y=kx+2與E交于A、B兩點，且 =2，其中O為原點．
（1）求拋物線E的方程；
（2）點C坐標為（0，﹣2），記直線CA、CB的斜率分別為k1 ， k2 ， 證明：k12+k22﹣2k2為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，

其中△=4p2k2+16p＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，

∴ = = =﹣4p+4，

由已知，﹣4p+4=2，解得p= ，

∴拋物線E的方程為x2=y

（2）證明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，

= = =x1﹣x2，

同理k2=x2﹣x1，

∴ =2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16

【解析】（1）將直線與拋物線聯立，消去y，得到關于x的方程，得到兩根之和、兩根之積，設出A、B的坐標，代入到 =2中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得到p，從而求出拋物線標準方程．（2）先利用點A，B，C的坐標求出直線CA、CB的斜率，再根據拋物線方程輪化參數y1 ， y2 ， 得到k和x的關系式，將上一問中的兩根之和兩根之積代入，化簡表達式得到常數即可．