Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ．

（1）求證：平面ABC⊥平面PED；
（2）求AC與平面PBC所成的角；
（3）求平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ，

∴AB2+BC2=AC2；

∴BC⊥AB；

D，E分別是BC，AC中點(diǎn)；

∴DE∥AB；

∴BC⊥DE；

又PB=PC，D是BC中點(diǎn)；

∴BC⊥PD，DE∩PD=D；

∴BC⊥平面PED

（2）證明：解： PA= ，PC=2，AC=4，

∴由余弦定理cos∠PCA= ，

在△PCE中，PC=2，CE=2，

∴由余弦定理得PE=1，DE=1，∴PD=1；

∴△PDE為等邊三角形；

∴如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，CF，則：EF⊥PD；

又BC⊥平面PED，EF平面PED；

∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；

∴EF⊥平面PBC；

∴∠ECF是直線AC和平面PBC所成角；

EF= ，CE=2；

∴sin∠ECF= = = ，

∴直線AC與平面PBC所成角為arcsin

（3）證明：以D為原點(diǎn)，分別以DC，DE為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

B（﹣ ，0，0），C（ ，0，0），E（0，1，0），A（﹣ ，2，0），

設(shè)P（0，y，z），則由PC=2，PA= ，

得 ，解得y= ，z= ，∴P（0， ），

設(shè)平面PAB的法向量 =（x1，y1，z1），

∵ =（0，2，0）， =（ ），

∴ ，取x11，得 =（1，0，﹣2），

平面PED的法向量為 =（1，0，0），

∴cos＜ ＞

= ，

∴平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值為

【解析】（1）根據(jù)AB，BC，AC邊的長(zhǎng)度容易得到BC⊥AB，E，D都是中點(diǎn)，從而DE∥AB，這便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D為BC邊中點(diǎn)，從而便得到BC⊥PD，從而由線面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED；（2）取PD中點(diǎn)F，連接EF，CF，則∠ECF是直線AC和平面PBC所成角，由此能求出直線AC與平面PBC所成角．（3）以D為原點(diǎn)，分別以DC，DE為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．