Question

6．已知二次函數y=f（x）滿足f（0）=3，f（1）=0且f（x+2）是偶函數．
（1）若f（x）在區間[2a，a+2]上不單調，求a的取值范圍；
（2）若x∈[t，t+2]，試求y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得y=f（x）的對稱軸為x=2，設出二次函數的兩根式，結合f（0）=3求得函數解析式，得到函數的對稱軸方程，由對稱軸大于2a小于a+2求得a的取值范圍；
（2）由（1）得到函數的對稱軸，然后分類利用單調性求y=f（x）在[t，t+2]上的最小值．

解答 解：（1）由已知f（x+2）是偶函數，可得y=f（x）的對稱軸為x=2，
∵y=f（x）是二次函數，且f（1）=0，∴f（3）=0，
設f（x）=a（x-1）（x-3），
又f（0）=3，∴3a=3，得a=1．
∴f（x）=x²-4x+3．
要使f（x）在區間[2a，a+2]上不單調，則2a＜2＜a+2，解得0＜a＜1．
∴a的取值范圍是（0，1）；
（2）∵y=f（x）的對稱軸x=2，
若t≥2，則y=f（x）在[t，t+2]上是增函數，${y_{min}}={t^2}-4t+3$；
若t+2≤2，即t≤0，則y=f（x）在[t，t+2]上是減函數，${y}_{min}=f（t+2）={t}^{2}-1$；
若t＜2＜t+2，即0＜t＜2，則y_min=f（2）=-1．
綜上，當t≥2時，${y}_{min}={t}^{2}-4t+3$；當0＜t＜2時，y_min=-1；當t≤0時，${y}_{min}={t}^{2}-1$．

點評 本題考查函數解析式的求解及常用方法，考查了二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．