Question

11．已知數列{a_n}的通項a_n=10n+5，n∈N ^*，其前n項和為S_n，令${T_n}=\frac{S_n}{{5•{2^n}}}$，若對一切正整數n，總有T_n≤m成立，則實數m的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 不存在

Answer 1

分析 數列{a_n}的通項a_n=10n+5，n∈N ^*，其前n項和為S_n=5n²+10n．可得${T_n}=\frac{S_n}{{5•{2^n}}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$，作差T_n+1-T_n，利用其單調性即可得出．

解答 解：數列{a_n}的通項a_n=10n+5，n∈N ^*，
其前n項和為S_n=$\frac{n（15+10n+5）}{2}$=5n²+10n．
${T_n}=\frac{S_n}{{5•{2^n}}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$，
T_n+1-T_n=$\frac{（n+1）^{2}+2（n+1）}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$=$\frac{-{n}^{2}+3}{{2}^{n+1}}$，
可得：T₁＜T₂＞T₃＞T₄＞…．
可得T_n的最大值為T₂．
∵對一切正整數n，總有T_n≤m成立，則實數m≥T₂=2．
∴m的最小值是2．
故選：C．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、作差法、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．