Question

【題目】如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速逆時針旋轉，每轉一圈需要6min，其中心O距離地面40.5m，摩天輪的半徑為40m，已知摩天輪上點P的起始位置在最低點處，在時刻t（min）時點P距離地面的高度為f（t）=Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．
（Ⅰ）求f（t）的單調減區間；
（Ⅱ）求證：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知：每轉一圈需要6min，摩天輪的半徑為40m，可得 = ，

其中心O距離地面40.5m，即h=40.5，φ=﹣ ．

故函數f（t）的解析式：f（t）=40sin（ ）+40.5．

由 ，（k∈N）

解得：3+6k≤t≤6+6k．

故f（t）的單調減區間為[3+6k，6+6k]，（k∈N）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（t）=40sin（ ）+40.5=40.5﹣40cos（ ）

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3﹣（40cos（ ）﹣40cos[ （t+2）]﹣40cos[ （t+4）]

=121.5﹣40cos ﹣40cos（ ）﹣40cos（ ）．

∵cos +cos（ ）+cos（ ）=cos ﹣ cos（ ）﹣ sin ﹣cos（ ）+ =0

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3=121.5

故得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

【解析】1、根據題意把實際問題轉化成數學問題，求得 ω =，f（t）=40sin（ t ）+40.5，由整體思想代入到正弦函數的增區間可得3+6k≤t≤6+6k，即得單調增區間是[3+6k，6+6k]，（k∈N）。
2、由題意可知f（t）+f（t+2）+f（t+4）整理可得121.5﹣40cos t ﹣40cos（ t + ）﹣40cos（ t + ），提出-40整理式子可得cos t +cos（ t + ）+cos（ t + ）再利用兩角和差的余弦公式可得上式=0，代入原式f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3=121.5
故得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值。
【考點精析】本題主要考查了正弦函數的單調性的相關知識點，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數才能正確解答此題．