Question

【題目】已知拋物線 ： ， 為 上一點且縱坐標為 ， ， 是 上的兩個動點，且 ．

（1）求過點 ，且與 恰有一個公共點的直線 的方程；
（2）求證： 過定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，顯然直線 符合題意；

當 時，設 的方程為 ，由

得 ，令 ，解得 ，

于是 ，所以 的方程為 或

（2）解：設 ， ，于是 ，

于是直線 的方程為 ，

即 ①，又 ，所以 ，

易得 ， ，于是 ．

即 ，與①聯(lián)立，消去 ，

得 ，令 ，得 ，故過定點

【解析】(1)分情況討論直線斜率存在和不存在，當斜率不存在時結合題意可得滿足。當斜率存在時由直線方程的點斜式設出方程再與拋物線的方程聯(lián)立，消元得到關于y的方程根據(jù)題意直線和拋物線相切進而方程的判別式等于零，即可求出m的值進而得到直線的方程。(2)根據(jù)題意分別求出點P、Q的坐標，然后求出直線QR的斜率由直線的點斜式求出直線的方程，整理化簡再結合兩直線垂直斜率之積等于-1得到關于y1和y2的代數(shù)式，利用整體思想結合代數(shù)式的幾何意義的出x、y的值，進而可得QR過定點。