Question

如圖，在四棱錐P­ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點．

(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；
(2)求B點到平面PCD的距離；
(3)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)    (2)    (3)存在，

解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形ABCD中，連接OC，易得OC⊥AD，所以以O為坐標原點，OC，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，
∴＝(1，－1，－1)，易證OA⊥平面POC，
∴＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，
cos〈，〉＝＝.
∴直線PB與平面POC所成角的余弦值為.
(2)＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)．
設平面PDC的一個法向量為u＝(x，y，z)，
則取z＝1，得u＝(1,1,1)．
∴B點到平面PCD的距離為
d＝＝.
(3)假設存在一點Q，則設＝λ (0<λ<1)．
∵..＝(0,1，－1)，
∴＝(0，λ，－λ)＝－，
∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．
設平面CAQ的一個法向量為m＝(x，y，z)，
又＝(1,1,0)，AQ＝(0，λ＋1,1－λ)，
則
取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，
又平面CAD的一個法向量為n＝(0,0,1)，
二面角Q­AC­D的余弦值為，
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
得3λ²－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)，
所以存在點Q，且＝.