Question

如圖，在長方體AC₁中，AB=BC=2，，點E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．

（1）求證：BE//平面D₁AC；
（2）求證：AF⊥BE；
（3）求異面直線AF與BD所成角的余弦值。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）連接和交于點，連接，證為平行四邊形得//，根據線面平行的判定定理即可證得//平面。（2）用空間向量法證兩向量數量積為0。（3）用空間向量法求兩向量所成角的余弦值，但應注意兩空間向量所成角范圍為，異面直線所成角范圍為，所以其余弦值應為正數。
試題解析：
（1）（方法一）連接和交于點，連接，由長方體知//且，
所以四邊形為平行四邊形，所以//，又平面，平
面，故//平面。            （4分）

（方法二）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則,
,.,,,
從而，故故//平面。 （4分）
（2）由（1）的方法二可知，
∴，   （6分）
∴.    （7分）
所以              （8分）
（3）由（1）、（2）知，，設異面直線AF與BD所成
的角為q，則，
故異面直線與所成角的余弦值為                 （12分）