Question

11．點P在曲線$\frac{x^2}{2}-{y^2}$=1上，點Q在曲線x²+（y-3）²=4上，線段PQ的中點為M，O是坐標原點，則線段OM長的最小值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 設設Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），P₁（-x₂，-y₂），則|OM|=$\frac{1}{2}$|P₁Q|，求出P₁到圓心N（0，3）的最小距離，即可得出|P₁Q|的最小距離，從而得出|OM|的最小值．

解答 解：設Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∴|OM|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$，
設P₁（-x₂，-y₂），則P₁在雙曲線上，∴x₁²=2y₂²+11，
∴|P₁Q|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|P₁Q|．
設曲線x²+（y-3）²=4的圓心為N（0，3），
則|P₁Q|_min=|P₁N|_min-2，
∵|P₁N|=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（3+{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{3{{y}_{2}}^{2}+6{y}_{2}+11}$=$\sqrt{3（{y}_{2}+1）^{2}+8}$，
∴當y₂=-1時，|P₁N|_min=2$\sqrt{2}$，
∴|P₁Q|_min=2$\sqrt{2}$-2，
∴|OM|_min=$\sqrt{2}-1$．
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查了雙曲線的性質，距離公式的應用，屬于中檔題．