Question

如圖，三棱錐P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC， D是PB上一點，且CD⊥平面PAB．

（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求異面直線AP與BC所成角的大小；

Answer 1

（1）見解析；（2）. 

試題分析：（1）主要考慮證明AB垂直于平面PCB內的兩條相交直線.根據PC⊥平面ABC，AB平面ABC，得到PC⊥AB.根據CD⊥平面PAB，AB平面PAB，得到OC⊥AB.因此AB平面PCB.
（2）有兩種思路，
一是“幾何法”，通過“一作，二證，三計算”確定異面直線PA與BC所成的角為.
二是“向量法”，以B為原點，建立如圖所示的坐標系.通過確定向量的坐標
利用
得到異面直線AP與BC所成的角為 
試題解析：解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.      2分
∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴OC⊥AB.   3分
又PCCD=C，∴AB平面PCB.     4分

（2）過點A作AF//BC，且AF=BC，連接PF，CF.
則∠PAF為異面直線PA與BC所成的角.      5分
由（1）可得AB⊥BC,∴CF⊥AF.
由三垂線定理，得PF⊥AF。
則AF=CF=
在Rt△PFA中，          
∴異面直線PA與BC所成的角為.      12分
解法二：（1）同解法一.
（2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=
以B為原點，建立如圖所示的坐標系.
則A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）.
     8分
則

∴異面直線AP與BC所成的角為     12分