Question

如圖，在三棱錐中，，，D為AC的中點，.

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以三棱錐為幾何背景考查線線垂直、平行的判定，線面垂直，面面垂直的判定以及用空間向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據已知條件，取中點，連結，得出，再利用，根據線面垂直的判定證出平面，從而得到垂直平面內的線，再利用為中位線，得出平面，最后利用面面垂直的判定證明平面垂直平面；第二問，由第一問知兩兩互相垂直，所以建立空間直角坐標系，得出點，以及坐標，利用已知先求出平面與平面的法向量，再利用夾角公式求出夾角的余弦值.
試題解析：（Ⅰ）取中點為，連結，．
因為，所以．
又，，所以平面，
因為平面，所以．        3分
由已知，，又，所以，
因為，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面．      5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，兩兩互相垂直．

以為坐標原點，的方向為軸的方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．
由題設知，，，．
則，，．
設是平面的法向量，則
即，可取．      9分
同理可取平面的法向量．
故．         11分
所以二面角的余弦值為．        12分