Question

8．已知△ABC中，D是BC的中點，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，AD和CE相交于點P，設$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$．
（ I）用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}$；
（ II）若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}$，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （ I）利用D是BC的中點，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，得到$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}$；
（ II）設$\overrightarrow{CP}=μ\overrightarrow{CE}$，將$\overrightarrow{AP}$用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示，根據平面向量基本定理得到關于λ，μ的方程組解之．

解答 解：（ I）因為D是BC的中點，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$；
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow a-\overrightarrow b$．
（ II）設$\overrightarrow{CP}=μ\overrightarrow{CE}$，則$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+μ\overrightarrow{CE}=\overrightarrow b+μ（\frac{2}{3}\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{2}{3}μ\overrightarrow a+（1-μ）\overrightarrow b$，
又$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}=λ•\frac{1}{2}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=\frac{1}{2}λ\overrightarrow a+\frac{1}{2}λ\overrightarrow b$，
∵$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$不共線，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}μ=\frac{1}{2}λ\\ 1-μ=\frac{1}{2}λ\end{array}\right.$，解得：$λ=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了平面向量基本定理的運用；考查平面向量的運算；屬于基礎題．