Question

已知橢圓C：的離心率等于，點P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由，點代入橢圓方程，二者聯立可以解出；（2）以的存在性分兩種情況：①不存在，直線:,易證符合題意；②存在時，設直線:，用直線方程和橢圓方程聯立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達定理得，，又因為共線，有，由得，得出，由于成立，所以點在直線上，綜上:存在定直線:,使得與的交點總在直線上,的值是.
試題解析：（1）由，               2分
又點在橢圓上，，              4分
所以橢圓方程是：；                       5分
（2）當垂直軸時，，則的方程是：，
的方程是：，交點的坐標是：，猜測:存在常數,
即直線的方程是:使得與的交點總在直線上,         6分
證明：設的方程是，點，
將的方程代入橢圓的方程得到：，
即：，                  7分
從而：，                 8分
因為：，共線
所以：，，                  9分
又，
要證明共線，即要證明，            10分
即證明：，
即：，
即：