已知橢圓C：
的離心率為
，
直線
：y=x+2與原點為圓心，以橢圓C的短軸長為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點
的直線
與橢圓
交于
，
兩點.設直線的斜率
，在
軸上是否存在點
，使得
是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在，求出實數
的取值范圍，如果不存在，請說明理由.
(Ⅰ)
.
（Ⅱ）存在滿足題意的點
（m,0）且實數的取值范圍為：
.
解析試題分析：(Ⅰ)利用離心率公式，得到
，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，得到
，得到
，從而得到橢圓C的方程.（Ⅱ）通過假設的方程為
（
），與橢圓方程聯立，應用韋達定理確定交點坐標關系，利用“向量法”得到
. 將表示成
應用導數或均值定理確定的范圍.
試題解析：(Ⅰ)
， 2分
∵直線：y=x+2與圓x2+y2=b2相切，
∴
，解得，則a2="4." 4分
故所求橢圓C的方程為. 5分
（Ⅱ）在軸上存在點，使得是以GH為底邊的等腰三角形. 6分
理由如下：
設的方程為（），
由
因為直線與橢圓C有兩個交點，所以
所以
，又因為，所以
.
設
，
，則
. 7分
.
=
.
由于等腰三角形中線與底邊互相垂直，則. 8分
所以
.
故
.
即
因為，所以
.所以
.
設
，當時，
，
所以函數在
上單調遞增，所以
， 10分
所以
11分
（若學生用基本不等式求解無證明扣1分）
又因為，所以
. 所以
，.
故存在滿足題意的點（m,0）且實數的取值范圍為：. 12分
考點：1、橢圓的幾何性質，2、直線與橢圓的位置關系，3、平面向量的坐標運算.
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同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，動點
到兩點
，
的距離之和等于
，設點的軌跡為曲線
，直線
過點
且與曲線交于
，
兩點．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△
面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
拋物線
與直線
相切，
是拋物線上兩個動點，
為拋物線的焦點，
的垂直平分線
與
軸交于點
，且
.
（1）求
的值;
（2）求點的坐標;
（3）求直線的斜率
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的離心率等于
，點P
在橢圓上。
（1）求橢圓
的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為
，過點
的動直線
與橢圓相交于
兩點，是否存在定直線
：
，使得與
的交點
總在直線
上？若存在，求出一個滿足條件的
值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓C經過點
，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點
的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為
時，求直線m的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
極坐標系中橢圓C的方程為
以極點為原點，極軸為
軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度.
（Ⅰ）求該橢圓的直角標方程；若橢圓上任一點坐標為
，求
的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓的兩條弦
交于點
，且直線
與
的傾斜角互補，
求證:
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動點
與定點
的距離和它到直線
的距離之比是常數
,記
的軌跡為曲線
.
（I）求曲線的方程；
（II）設直線
與曲線交于
兩點，點
關于
軸的對稱點為
,試問：當
變化時，直線
與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
經過點
且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
．點
、
在軌跡上，且關于
軸對稱，過線段
（兩端點除外）上的任意一點作直線
，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點
、
．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：
；
（3）若點到直線
的距離等于
，且△
的面積為20，求直線
的方程．
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，過
軸上一點
的直線與拋物線交于點
兩點。
為常數，并確定