Question

【題目】已知為坐標原點，拋物線的焦點坐標為，點，在該拋物線上且位于軸的兩側，．

（Ⅰ）證明：直線過定點；

（Ⅱ）以，為切點作的切線，設兩切線的交點為，點為圓上任意一點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）2．

【解析】

（Ⅰ）先求出拋物線的方程，然后設直線的方程為，設，（，），聯立直線和拋物線的方程可得，由韋達定理可得的值，再根據，可得出b的值，進而可得出直線恒過定點；

（Ⅱ）以為切點的切線方程為，以為切點的切線方程為，聯立，解得，由（Ⅰ）知，所以兩切線交點的軌跡方程為，進而可得出的最小值.

（Ⅰ）根據題意，，所以．

故拋物線．

由題意設直線的方程為．

由，消去整理得．

顯然．

設，（，），則，

所以．

由題意得，解得或（舍去）．

所以直線的方程為，故直線過定點；

（Ⅱ）因為，所以，，

故以為切點的切線方程為，即，

以為切點的切線方程為，即

聯立，解得．

又因為，

所以兩切線交點的軌跡方程為．

因為圓心到直線的距離為3，

所以圓上一點到直線的最小距離為，

故的最小值為2．