Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì)a分類(lèi)討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)對(duì)a分類(lèi)討論，作出函數(shù)的圖像，分析出函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)所滿足的條件，從而求出a的取值范圍.

詳解:（1）由題意得

①當(dāng)時(shí)，令，則；

令，則，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，則或，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，則或；

令，則，

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，則或；

令，則，

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在處取得極大值，

∵，

∴此時(shí)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

∴此時(shí)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

∴的處取得極大值，

∵，

∴此時(shí)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∵，，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，

∵，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，

∴此時(shí)符合題意；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

∴在上沒(méi)有零點(diǎn)，此時(shí)不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.