Question

函數f（x）滿足：（i）?x∈R，f（x+2）=f（x），（ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．給出如下四個結論：
①函數f（x）在區間[1，2]單調遞減；
②函數f（x）在點（

1

2

，

3

4

）處的切線方程為4x+4y-5=0；
③若數列{a_n}滿足a_n=f（2n），則其前n項和S_n=n；
④若[f（x）]²-2f（x）+a=0有實根，則a的取值范圍是0≤a≤1．
其中正確結論的個數是（　　）

A．l

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用函數的周期性與單調性判斷①的正誤；利用函數的切線方程判斷②的正誤；求出數列的前n項和判斷③的正誤；通過函數的值域判斷④的正誤；

解答：解：因為函數f（x）滿足：（i）?x∈R，f（x+2）=f（x），（ ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．
對于①，由題意可知函數在[-1，0]上是增函數，函數的周期為2，所以函數f（x）在區間[1，2]單調遞減，是不正確的；
對于②，函數x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1，所以f′（x）=-2x，在點（

1

2

，

3

4

）處的切線的斜率為：-1，
切線方程為：y-

3

4

=-（x-

1

2

）即切線方程為4x+4y-5=0，正確；
對于③，若數列{a_n}滿足a_n=f（2n）=1，數列是常數數列，則其前n項和S_n=n，正確；
對于④，函數f（x）∈[0，1]，若[f（x）]²-2f（x）+a=0有實根，所以

△≥0 02-2×0+a≥0 12-2×1+a≤0

，可得0≤a≤1，則a的取值范圍是0≤a≤1．正確．
故選C．

點評：本題考查命題的真假，函數的導數的應用切線方程的求法，二次函數根的分布，數列求和，以及函數的零點，考查知識面廣，解答需要仔細認真．