Question

（2012•贛州模擬）函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，導函數f′（x）滿足f′（0）f′（1）＞0，設f'（x）=0的兩根為x₁，x₂，則|x₁-x₂|的取值范圍是（　　）

• A．[

  3

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  4

  9

  )
• C．[

  1

  3

  ，

  3

  3

  )
• D．[

  1

  9

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：先求出f′（x）=3ax²+2bx+c，可得 |x 1- x 2|2=

4b2-12ac

9a2

=

4

9

(

b

a

)2+

4

3

•

b

a

+

4

3

，由f′0）•f′（1）＞0，
解得-2＜

b

a

＜-1，利用二次函數的性質求出|x 1- x 2|2的范圍，即可求得|x₁-x₂|的取值范圍．

解答：解：由題意得：f′（x）=3ax²+2bx+c，∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁•x₂=

c

3a

．∴|x₁-x₂|² =(x 1+ x 2)2-4x₁x₂ ，
∴|x 1- x 2|2=(x 1+ x 2)2-4x₁•x₂ =

4b2-12ac

9a2

．
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴|x 1- x 2|2=

4b2-12ac

9a2

=

4

9

 (

b

a

)2+

4

3

•

b

a

+

4

3

．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a²+3ab+b²＜0，∵a≠0，兩邊同除以a²得：(

b

a

)2+3

b

a

+2＜0，解得-2＜

b

a

＜-1．
由二次函數的性質可得，當

b

a

=-

3

2

時，|x 1- x 2|2有最小值為

1

3

，
當

b

a

趨于-1時，|x 1- x 2|2 趨于

4

9

，故 |x 1- x 2|2∈[

1

3

，

4

9

)，
故|x₁-x₂|∈[

3

3

，

2

3

)，
故選A．

點評：本題考查根與系數的關系的靈活運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，屬于中檔題．