Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]時，f（x）=4^x，x∈（1，2）時，f(x)=

f(1)

x

，則函數f（x）的零點個數為

5

．

Answer 1

分析：由x∈[0，1]時，f（x）=4^x，可得f（1）=4，x∈（1，2）時，f(x)=

f(1)

x

=

4

x

，而由函數f（x）滿足f（x+2）=f（x）+1，即自變量x每增加2個單位，函數圖象向上平移1個單位，自變量每減少2個單位，函數圖象向下平移2個單位，畫出函數y=f（x），結合函數的圖象可求

解答：解：∵x∈[0，1]時，f（x）=4^x，
∴f（1）=4
∴x∈（1，2）時，f(x)=

f(1)

x

=

4

x

∵函數f（x）滿足f（x+2）=f（x）+1，即自變量x每增加2個單位，函數圖象向上平移1個單位，自變量每減少2個單位，函數圖象向下平移2個單位
畫出函數y=f（x）可知，x＞0時，f（x）沒有零點，而當x＜0時，函數y=f（x）=0的x有5個

故答案為：5

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質，利用轉化思想，將函數的零點個數問題，轉化為函數圖象交點個數問題，是解答本題的關鍵．