Question

如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，E，F分別為AB、SC的中點，且AD=SD=2，DC=3．
（1）求證：EF∥平面SAD；
（2）求異面直線AD、EF所成角的余弦值；
（3）四棱錐S-ABCD有外接球嗎？若有，求出外接球的表面積；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明EF∥平面SAD，利用線面平行的判定，證明線線平行即可，設SD的中點為G，連接GF、AG，證明EF∥AG，即可得到結論；
（2）∠GAD（或其補角）為異面直線AD，EF所成角，在Rt△GDA中，利用余弦函數可求；
（3）根據DS、DA、DC兩兩垂直，可知DB為四棱錐的外接球的直徑，故可求四棱錐S-ABCD外接球的表面積．

解答：（1）證明：設SD的中點為G，連接GF、AG，則可知GF∥DC且GF=

1

2

CD
又E為AB的中點，故AE∥DC，AE=

1

2

CD
∴GF∥AE，且GF=AE
∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴EF∥AG…（2分）
又EF?平面SAD，AG?平面SAD
∴EF∥平面SAD…（4分）
（2）解：由（1）知，EF∥AG，所以∠GAD（或其補角）為異面直線AD，EF所成角…．（6分）
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥DA
在Rt△GDA中，AD=2，GD=1，故GA=

5

∴cos∠GAD=

AD

AG

=

2 5

5

，
即異面直線AD，EF所成角的余弦值為

2 5

5

…..（8分）
（3）解：∵DS、DA、DC兩兩垂直，所以可知DB為四棱錐的外接球的直徑
又DB=

DS2+DA2+DC2

=

17

∴S=4π×(

17

2

)2=17π，即四棱錐S-ABCD外接球的表面積為17π…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查線線角，考查球的表面積，確定線線角，球的直徑是關鍵．