Question

如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，BA⊥面SAD，CD⊥面SAD，SA⊥SD，且SA=SD=DC=2AB．O為AD中點．
（1）求證：SO⊥BC；
（2）求直線SO與面SBC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中BA⊥面SAD，由面面垂直的判斷定理可得面ABCD⊥面SAD，由等腰三角形三線合一，可得SO⊥AD，結合面面垂直的性質定理可得SO⊥面ABCD，最后由線面垂直的性質定理得到SO⊥BC；
（2）過O作OE⊥BC于E，連SE，由三垂線定理，及線面夾角的定義，我們可得直角△SOE中，∠OSE為所求SO與面SBC所成的角，解直角△SOE，即可得到答案．

解答：證明：（1）∵BA⊥面SAD，CD⊥面SAD
∴BA∥CD
∴面ABCD⊥面SAD（3分）
又SA=SD，O為AD中點，
∴SO⊥AD
∴SO⊥面ABCD
故SO⊥BC（5分）
解：（2）過O作OE⊥BC于E，連SE，則由三垂線定理，BC⊥SE．∴BC⊥面SOE
∴面SBC⊥面SOE，從而SE就是SO在面SBC上的射影    
在直角△SOE中，∠OSE為所求SO與面SBC所成的角．                    （8分）
設AB=a，延長CB交DA延長線于F，則DA=2SO=2

2

a，DF=4

2

a，從而FC=6a．
∴由

OE

OF

=

DC

FC

得：OE=

2a

6a

•3

2

a=

2

a（10分）
∴tan∠OSE=

OE

SO

=1．即∠OSE=45°（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，平面與平面垂直的性質，直線與平面所成的角，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉化，（2）的關鍵是構造出∠OSE為所求SO與面SBC所成的角．