Question

如圖所示，在四棱錐S―ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC= 90°，SA=AB=AD=BC=1，E為SD中點．

(1)若F為底面BC邊上一點，且BF=BC，求證：EF//平面SAB；

(2)底面BC邊上是否存在一點G，使得二面角S―DG―B的正切值為，若存在，求出G點位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)取SA中點H，連EH、BH．

由HE//AD，BF//AD，且HE=AD，BF=AD

∴HE∥BF，BF=HE，

∴四邊形EFBH為平行四邊形．

    ∴EF//BH，BH面SAB，EF面SAB，

∴EF//面SAB．

    (2)假設存在點G，滿足題設條件，

    過A作AI⊥DG于I，由三垂線定理得

    SI⊥DG，并設二面角S―DG―B的大小為

    則，∴AI=，又AD=1

    故∠ADG=45°或∠ADG=135°

    若∠ADG=45°，則G與B點重合；

    若∠ADG=135°，則BG=AD+AB

故存在點G與B重合或BG=BC滿足題設。