Question

【題目】設f（x）是定義在R上的偶函數，當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（ ）
A.（﹣1，0）∪（1，+∞）
B.（﹣1，0）∪（0，1）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設g（x）=xf（x），則g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函數g（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函數，
∴函數g（x）在區間（﹣∞，0）上是增函數，
∵f（1）=0，
∴f（﹣1）=0；
即g（﹣1）=0，g（1）=0
∴xf（x）＞0化為g（x）＞0，
設x＞0，故不等式為g（x）＞g（1），即1＜x；
設x＜0，故不等式為g（x）＞g（﹣1），即﹣1＜x＜0．
故所求的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）
故選A．
由題意構造函數g（x）=xf （x），再由導函數的符號判斷出函數g（x）的單調性，由函數f（x）的奇偶性得到函數g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、還有g（﹣1）=0，再通過奇偶性進行轉化，利用單調性求出不等式得解集．