Question

已知函數f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時，f（x）取得極值-2．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當x∈[-3，3]時，f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（I）由f（x）是R上的奇函數，有f（0）=0，所以d=0，
因此f（x）=ax³+cx，對函數f（x）求導得f′（x）=3ax²+c，
由題意得：f（1）=-2，f′（1）=0
所以

a+c=-2 3a+c=0

解得a=1，c=-3
因此f（x）=x³-3x
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3
令3x²-3＞0，解得x＜-1或x＞1；
令3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，
因此f（x）的單調區間為（-∞，-1）和（1，+∞）；
f（x）的單調減區間為（-1，1）．
（Ⅲ）令f′（x）=0，得x₁=-1或x₂=1
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：

從上表可知，f（x）在區間[-3，3]上的最大值是18．
原命題等價于m大于f（x）在[-3，3]上的最大值，所以m＞18．
故m的取值范圍是（18，+∞）