Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將曲線方程，先向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到曲線C.

（1）點(diǎn)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，并求出的最大值；

（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），又直線l與曲線C的交點(diǎn)為E，F，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段EF的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

Answer 1

【答案】（1）（θ為參數(shù)）；4；（2）

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用和直線垂直的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：（1）將曲線方程，先向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到曲線C的方程為，

即，

故曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）；

又點(diǎn)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，

所以2cos4cos（）.

所以的最大值為4；

（2）由（1）知曲線C的直角坐標(biāo)方程為，

又直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），

所以直線l的普通方程為x+2y﹣4＝0，

所以有，

解得或.

所以線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），

即線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），

直線l的斜率為，

則與直線l垂直的直線的斜率為2，

故所求直線的直角坐標(biāo)方程為y﹣1＝2（x﹣2），

即2x﹣y﹣3＝0，

將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，

得其極坐標(biāo)方程為2ρcosθ﹣ρsinθ﹣3＝0.