Question

【題目】記數列的前n項和為，已知，.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，記數列的前n項和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）當時根據公式，代入進行計算并加以轉化可得，方法一：利用累乘法，可得，即可求出結果；方法二：由，可得，所以數列 是一個常數列，進而可計算出數列的通項公式；

（2）根據第（1）題的結果計算出數列的通項公式，然后將通項公式進行轉化可發現數列是以2為首項，2為公比的等比數列，再根據等比數列的求和公式寫出的表達式，同時可得與的表達式，然后運用作差法代入計算可證明不等式成立．

解：(1)(法一)

∵，即，

∴，

∴.

∴，即，

∴

又也滿足上式，

∴.

(法二)∵，即，

∴

∴

∴，即，

∴，

∴是以為首項的常數列，

∴.

(2)由(1)知，

.

∴，即.