Question

【題目】已知正△ABC邊長為3，點M，N分別是AB，AC邊上的點，AN＝BM＝1，如圖1所示．將△AMN沿MN折起到△PMN的位置，使線段PC長為，連接PB，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：平面PMN⊥平面BCNM；

（Ⅱ）若點D在線段BC上，且BD＝2DC，求二面角M﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）推導出AN⊥MN，即PN⊥MN，PN⊥NC，從而PN⊥平面BCNM，由此能證明平面PMN⊥平面BCNM．

（Ⅱ）以N為坐標原點，NM為x軸，NC為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣PD﹣C的余弦值．

解：（Ⅰ）證明：依題意，在△AMN中，AM＝2，AN＝1，∠A，

由余弦定理，，解得，

根據勾股定理得MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN，即PN⊥MN，

在圖2△PNC中，PN＝1，NC＝2，PC，

∴PC2＝PN2+NC2，∴PN⊥NC，

∵MN∩NC＝N，∴PN⊥平面BCNM，

∵PN平面PMN，∴平面PMN⊥平面BCNM．

（Ⅱ）解：以N為坐標原點，NM為x軸，NC為y軸，NP為z軸，

建立空間直角坐標系，

則P（0，0，1），M（，0，0），D（，，0），C（0，2，0），

∴（，0，﹣1），（，，0），

（0，2，﹣1），（，，0），

設平面MPD的一個法向量（x，y，z），

則，取y＝1，得（，1，3），

設平面PDC的法向量（a，b，c），

則，取a＝1，得（1，，2），

設二面角M﹣PD﹣C的平面角為θ，由圖知θ是鈍角，

∴cosθ．

二面角M﹣PD﹣C的余弦值為．