Question

【題目】如圖，矩形中，，，為的中點．把沿翻折，使得平面平面．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求所在直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）證明空間中兩異面直線垂直的常用方法為先證明直線與平面垂直，再證明另一條直線在這個平面內；（Ⅱ）用等體積法求解，或建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角求解．

解：（Ⅰ）證明：∵為的中點，

矩形中，，，

∴，則，

∴．

∵平面平面，

平面平面，

∴平面，

∴．

（Ⅱ）解法一：取的中點，連接，，則．

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

設點到平面的距離為，

∴．

在中，，，則，

∴，則．

設所在直線與平面所成角為，

∵，∴，

即所在直線與平面所成角的正弦值為

解法二：取的中點，連接，則，

取的中點，連接，則，

∴平面，

∴以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建

立如圖所示的空間直角坐標系．

則，，，，

∴，，，

∴設為平面的一個法向量，

∴，，

所以，令，則

∴．

設所在直線與平面所成角為，

∴，

即所在直線與平面所成角的正弦值為．