Question

【題目】已知函數f（x）=x3+bx2+ax+d的圖象過點P（0，2），且在點M（﹣1，f（﹣1））處的切線程為6x﹣y+7=0．

（1）求函數y=f（x）的解析式；

（2）求函數y=f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

【答案】(1) f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

(2) 單調增區(qū)間為（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；單調減區(qū)間為（1﹣,1+）.

【解析】分析：（1）求出導函數，題意說明，，，由此可求得；

（2）解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間.

詳解：（1）∵f（x）的圖象經過P（0，2），∴d=2，

∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f'（x）=3x2+2bx+a．

∵點M（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為6x﹣y+7=0

∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①，

還可以得到，f（﹣1）=y=1，即點M（﹣1，1）滿足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②

由①、②聯立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

（2）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+.

當x<1-,或x>1+時，f'（x）>0；當1-<x<1+時，f'（x）<0.

故f（x）的單調增區(qū)間為（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；單調減區(qū)間為（1﹣,1+）