Question

【題目】已知二次函數對稱軸方程為，在上的奇函數滿足：當時，.

（1）求函數的解析式；

（2）判斷方程的根的個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）3個零點

【解析】

（1）根據對稱軸方程求出a，通過函數的奇偶性求出g（x）的表達式即可；（2）在同一個坐標系中，作出函數與的圖像，根據兩個圖象結合零點存在定理判斷出根的個數．

由二次函數對稱軸方程為，可得：,所以.

由時，，即：

設則，所以， 即：

又因為是奇函數，所以，所以

即：

由是奇函數可知，當時，

所以，

當時，與的圖像可知：

兩函數有且僅有一個交點；

當時，與的圖像沒有交點；

當時，在上單調遞增，在單調遞減，且函數單調遞增，又，又

可知在上有一個根且1亦為它的一個根

綜上所述方程的有3個根。