Question

【題目】已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若是曲線上關于軸對稱的兩點，點，直線交曲線

于另一點，求證：直線過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點

【解析】分析：（1）根據圓與圓外切并且與圓內切可得點滿足，由橢圓的定義可得動點的軌跡，然后可求得其方程．（2）由題意可設直線的方程為，將其代入橢圓方程消去y后可得二次方程，根據點共線及根據系數的關系可得，于是直線方程是，過定點．

詳解：（1）圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，

設動圓半徑為，

∵圓與圓外切且與圓內切，

∴ ，，

∴ ，

∴圓心的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓（左頂點除外），設其方程為．

由題意得，

∴，

∴曲線C的方程為．

（2）由題意知直線斜率存在，設直線的方程為，

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于A,E兩點，

∴，

整理得①，

設，，則，

且，，

∵點共線，

∴，即，

整理得，

∴ ，

整理得，滿足判別式①．

∴直線方程是，

∴直線過定點．