Question

【題目】過P（2，1）且兩兩互相垂直的直線l1 ， l2分別交橢圓 + =1于A，B與C，D．
（1）求|PA||PB|的最值；
（2）求證： + 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線l1的傾斜角為θ，則l1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）

代入橢圓的方程 中，整理得：（cos2θ+4sin2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8=0，

∴由韋達(dá)定理可知：tAtB=﹣ ，

∴|PA||PB|= = ，

故|PA||PB|的最大值為8，最小值為2

（2）解：∵l1⊥l2，不妨設(shè)l1的傾斜角小于l2的傾斜角，

則l2的傾斜角為 +θ，

因此直線l2的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）

代入橢圓的方程 + =1，

整理得：（sin2θ+4cos2θ）t2+4（2cosθ﹣sinθ）t﹣8=0，

∴|PC||PD|=丨tCtD丨= ，

∴ + = + = ，

∴ + 為定值

【解析】（1）由題意設(shè)出直線l1的參數(shù)方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得tAtB=﹣ ，由|PA||PB|= = ，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得|PA||PB|的最值；（2）由l1⊥l2 ， 求得l2的參數(shù)方程，并根據(jù)韋達(dá)定理求得|PC||PD|=丨tCtD丨= ，表示出 + ，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求證 + 為定值．