Question

小波以游戲方式?jīng)Q定參加學校合唱團還是參加學校排球隊.游戲規(guī)則為:以O為起點,再從(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為.若就參加學校合唱團,否則就參加學校排球隊.

（I）求小波參加學校合唱團的概率；
（II）求的分布列和數(shù)學期望.

Answer 1

（I）小波參加學校合唱團的概率為.
（II）的分布列為:

.

解析試題分析：（I）觀察圖形，確定從8個點中任意取兩點為向量終點的方法數(shù)；
計算時,兩向量夾角為直角的情況數(shù)；
應用古典概型概率的計算公式計算“小波參加學校合唱團的概率”.
（II）注意到兩向量數(shù)量積的所有可能取值為
分別計算相應概率，寫出的分布列.關鍵是計算概率要準確.
利用數(shù)學期望計算公式得到.
本題難度不大，突出了對古典概型概率的計算方法，以及數(shù)學期望的計算公式等所學知識的考查.
試題解析：（I）從8個點中任意取兩點為向量終點的不同取法共有種,時,兩向量夾角為直角共有8種情形;所以小波參加學校合唱團的概率為.         4分
（II）兩向量數(shù)量積的所有可能取值為
當時，
當時,有2種情形
當時,有8種情形
當時,有10種情形.        8分
所以的分布列為:

                                                                  10分
.          12分
考點：古典概型概率的計算，離散性隨機變量的分布列、期望.