Question

已知函數f（x）=cos²ωx-sin²ωx（ω＞0）的最小正周期為6，過兩點A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直線的斜率記為g（t）．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）寫出函數g（t）的解析式，求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,三角函數的周期性及其求法

專題：綜合題,三角函數的求值

分析：（Ⅰ）化簡函數f（x），利用最小正周期為6，求ω的值；
（Ⅱ）根據過兩點A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直線的斜率，可得函數g（t）的解析式，再利用輔助角公式，化簡函數，即可求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為函數y=cos²ωx-sin²ωx=cos2ωx，最小正周期為6，
所以

2π

2ω

=6，所以ω=

π

6

；
（Ⅱ）g（t）=f（t+1）-f（t）=cos（

π

3

t+

π

3

）-cos

π

3

t=-sin（

π

3

t+

π

6

）
∵t∈[-

3

2

，

3

2

]，∴

π

3

t+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（

π

3

t+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
∴-sin（

π

3

t+

π

6

）∈[-1，

3

2

]
∴g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范圍為[-1，

3

2

]．

點評：本題考查直線的斜率計算，考查三角函數的值域問題，考查學生的計算能力，正確確定函數解析式是關鍵．