Question

已知a＞0，求證：

a2+ 1 a2

-

3

＞a+

1

a

-3．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：利用分析法證明即可：要證

a2+ 1 a2

-

3

＞a+

1

a

-3，只需證

a2+ 1 a2

+3＞a+

1

a

+

3

成立，依題意，只需證明兩端平方后的不等式任然成立即可，最后，只需證明證a2+

1

a2

≥1即可，該式成立，從而得原不等式成立．

解答： 證明：要證

a2+ 1 a2

-

3

＞a+

1

a

-3，
只需證

a2+ 1 a2

+3＞a+

1

a

+

3

∵a＞0，∴兩邊均大于0，
∴只需證(

a2+ 1 a2

+3)2＞(a+

1

a

+

3

)2，
即證

a2+ 1 a2

≥

3

3

(a+

1

a

)，
即證a2+

1

a2

≥

1

3

(a2+

1

a2

+2)即證a2+

1

a2

≥1，
上式顯然成立，∴原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查分析法證明不等式，掌握分析法的特點及證題思路是關鍵，考查推理證明能力，屬于中檔題．