Question

【題目】已知數(shù)列、滿足：，，，．

（1）求，，，；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），，，（2）證明見解析，（）（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求得與的遞推關(guān)系式，由此先求出，進(jìn)而依次求得的值.

（2）由（1）中求得的與的遞推關(guān)系式，利用配湊法證得數(shù)列是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）由（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法求得.

解法一：利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)不等式，得到，利用數(shù)列的單調(diào)性證得，由此求得的取值范圍.

解法二：通過(guò)差比較法，化簡(jiǎn)，對(duì)分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.

（1）由于，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，，，．

（2），，

所以，，

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

所以，，（）．

（3）因?yàn)?/span>，從而，

所以，

，

解法一：

所以，不等式化為，

即當(dāng)時(shí)恒成立，

令，

則隨著的增大而減小，且恒成立．

故，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

解法二：

，

若不等式對(duì)任意恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意恒成立．

設(shè)，由題意，，

當(dāng)時(shí)，恒成立；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，

在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，故只需即可，

由，得，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．