Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長為的正方形，.

（1）求證：；

（2）若，分別為，的中點，平面，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題本題主要考查線面垂直的判定與性質、錐體的體積等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，利用線面垂直的判定定理，先證出平面，利用線面垂直的性質定理得，在中再證明；第二問， 用體積轉化法，將轉化為，證明出是錐體的高，再利用錐體的個數求解.

試題解析：（Ⅰ）連接交于點，

因為底面是正方形，

所以且為的中點.

又

所以平面，

由于平面,故.

又,故.

（Ⅱ）設的中點為,連接,∥=,

所以為平行四邊形，∥，

因為平面，

所以平面，所以,的中點為,

所以.

由平面，又可得，

又，又

所以平面

所以,又,

所以平面

（注意：沒有證明出平面，直接運用這一結論的，后續(xù)過程不給分）

故三棱錐D-ACE的體積為.