Question

【題目】已知數列滿足奇數項成等差，公差為，偶數項成等比，公比為，且數列的前項和為，，.

若，.

①求數列的通項公式；

②若，求正整數的值；

若，，對任意給定的，是否存在實數，使得對任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】①，；②；存在；的取值范圍為.

【解析】

先由，，聯立求得，；①先對進行分類（正奇數與正偶數），分別求通項公式；②先對進行分類（正奇數與正偶數），利用①求得的通項公式分別求滿足題意的，再綜合；

分當與兩種情況分別研究，求出的取值范圍.

解：①因為，，所以，，即解得，.

當為奇數時，設，則

當為偶數時，設，則

綜上，.

②當為奇數時，，即，即，當時，不合題意；

當時，右邊小于2，左邊大于2，等式不成立；

當為偶數時，，,所以.綜上，.

當時，由于，各項，所以，所以符合題意；

當時，假設對任意恒成立，即對任意恒成立，

所以，令，即對任意恒成立

先證：對任意恒成立，

令，則，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，即對任意恒成立，所以，

所以，所以當時，,

即，解得，

所以當且時，這與對任意恒成立矛盾，所以當時不合題意；

綜上的取值范圍為.