Question

某農戶準備建一個水平放置的直四棱柱形儲水窖（如圖），其中直四棱柱的高AA₁=10m，兩底面ABCD，A₁B₁C₁D₁是高為2m，面積為10m²的等腰梯形，且∠ADC=θ（0＜θ＜

π

2

）．若儲水窖頂蓋每平方米的造價為100元，側面每平方米的造價為400元，底部每平方米的造價為500元．
（1）試將儲水窖的造價y表示為θ的函數；
（2）該農戶如何設計儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低，最低造價是多少元（取

3

=1.73）．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）過A作AE⊥DC，垂足為E，令AB=x，求出CD，即可將儲水窖的造價y表示為θ的函數；
（2）利用導數確定函數的單調性，即可求出最值．

解答： 解：（1）過A作AE⊥DC，垂足為E，則AE=2，DE=

2

tanθ

，AD=

2

sinθ

，
令AB=x，從而CD=x+

4

tanθ

，
故

1

2

×2×(x+x+

4

tanθ

)=10，
解得x=5-

2

tanθ

，CD=5+

2

tanθ

，（4分）
所以y=（20+2AD×10）×400+（10AB）×500+（10CD）×100
=8000+8000×

2

sinθ

+5000×(5-

2

tanθ

)+1000(5+

2

tanθ

)=38000+8000(

2

sinθ

-

1

tanθ

)(0＜θ＜

π

2

)（7分）
（2）因為y=38000+8000×

2-cosθ

sinθ

，
所以y′=8000

sin2θ-(2-cosθ)cosθ

sin2θ

=

8000(1-2cosθ)

sin2θ

（10分）
令y'=0，則θ=

π

3

，
當θ∈(0，

π

3

)時，y'＜0，此時函數y單調遞減；
當θ∈(

π

3

，

π

2

)時，y'＞0，此時函數y單調遞增．
所以當θ=

π

3

時，ymin=38000+8000

3

=51840．
答：當∠ADC=60°時，等價最低，最低造價為51840元．（15分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定函數模型是關鍵．