Question

若數列{a_n}滿足點（

1

an

，

1

an+1

）（n∈N^*）在函數f（x）=x+2n的圖象上，且a₁=4．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求證：

4

3

≤

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

＜2．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由題意得

1

an+1

-

1

an

=2n，利用累加法求得通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項法求和，放縮即得結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

1

an+1

=

1

an

+2n，
∴

1

an+1

-

1

an

=2n，

1

an

-

1

an-1

=2（n-1），…

1

a3

-

1

a2

=2×2，

1

a2

-

1

a1

=2×1，
∴累加得

1

an

-

1

a1

=n²-n，即

1

an

=

1

a1

+n²-n，又a₁=4，
∴a_n=

4

(2n-1)2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

=2（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=2（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

＜

4n

2n

=2
又

4n

2n+1

≥

4n

2n+n

=

4

3

，
∴

4

3

≤

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

＜2．

點評：本題主要考查數列通項公式的求法累加法及數列求和的裂項法，考查學生的運算能力，屬中檔題．