Question

（1）已知a+b+c=1，求證：ab+bc+ca≤

1

3

．
（2）已知a＞0，求證：

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：（1）利用綜合法，由a+b+c=1⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，利用重要不等式a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，易證a²+b²+c²≥ab+bc+ac，與前者聯立可證得結論；
（2）利用分析法，要證

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只要證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

即可．即證兩端平方后的不等式成立，直到即證a²+

1

a2

≥2，而此不等式顯然成立，從而肯定原不等式成立．

解答： 證明：（1）∵a+b+c=1，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
又a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
將以上三個不等式相加得：2（a²+b²+c²）≥（2ab+2bc+2ac），
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
∴1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac=3（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ca≤

1

3

．
（2）要證

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只要證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

即可．
∵a＞0，∴只要證(

a2+ 1 a2

+2)2≥(a+

1

a

+

2

)2，
即a²+

1

a2

+4

a2+ 1 a2

+4≥a²+2+

1

a2

+2

2

（a+

1

a

）+2，
從而只要證2

a2+ 1 a2

≥

2

（a+

1

a

），
只要證4（a²+

1

a2

）≥2（a²+2+

1

a2

），即證a²+

1

a2

≥2，而此不等式顯然成立，
故原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查綜合法與分析法，考查推理論證能力，屬于中檔題．