Question

已知橢圓的右焦點F，左、右準線分別為l₁：x＝－m－1，l₂：x＝m＋1，且l₁、l₂分別與直線y＝x相交于A、B兩點．
(1)若離心率為，求橢圓的方程；
(2)當·<7時，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）

(1)由已知，得c＝m，＝m＋1，從而a²＝m(m＋1)，b²＝m.
由e＝，得b＝c，從而m＝1.故a＝，b＝1，得所求橢圓方程為＋y²＝1.
(2)易得A(－m－1，－m－1)，B(m＋1，m＋1)，從而＝(2m＋1，m＋1)，＝(1，m＋1)，故·＝2m＋1＋(m＋1)²＝m²＋4m＋2<7，得0<m<1.
由此離心率e＝＝，故所求的離心率取值范圍為