Question

乒乓球臺面被網分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區域C，D，某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球，規定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點在A上的來球，小明回球的落點在C上的概率為

1

2

，在D上的概率為

1

3

；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為

1

5

，在D上的概率為

3

5

．假設共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響，求：
（Ⅰ）小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結束后，小明得分之和ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）分別求出回球前落點在A上和B上時，回球落點在乙上的概率，進而根據分類分布原理，可得小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六種情況，求出隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式可得其數學期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）小明回球前落點在A上，回球落點在乙上的概率為

1

2

+

1

3

=

5

6

，
回球前落點在B上，回球落點在乙上的概率為

1

5

+

3

5

=

4

5

，
故小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率P=

5

6

×（1-

4

5

）+（1-

5

6

）×

4

5

=

1

6

+

2

15

=

3

10

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，6
其中P（ξ=0）=（1-

5

6

）×（1-

4

5

）=

1

30

；
P（ξ=1）=

1

3

×（1-

4

5

）+（1-

5

6

）×

3

5

=

1

6

；
P（ξ=2）=

1

3

×

3

5

=

1

5

；
P（ξ=3）=

1

2

×（1-

4

5

）+（1-

5

6

）×

1

5

=

2

15

；
P（ξ=4）=

1

2

×

3

5

+

1

3

×

1

5

=

11

30

；
P（ξ=6）=

1

2

×

1

5

=

1

10

；
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	6
P	1 30	1 6	1 5	2 15	11 30	1 10

故ξ的數學期望為E（ξ）=0×

1

30

+1×

1

6

+2×

1

5

+3×

2

15

+4×

11

30

+6×

1

10

=

91

30

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．