Question

如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小（仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是（　　）

• A、

  30

  5

• B、

  30

  10

• C、

  4 3

  9

• D、

  5 3

  9

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：在直角三角形ABC中，由AB與AC的長，利用勾股定理求出BC的長，過P作PP′⊥BC，交BC于點(diǎn)P′，連接AP′，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tanθ=

PP′

AP′

，設(shè)BP′=m，則CP′=20-m，利用銳角三角函數(shù)定義表示出PP′，利用勾股定理表示出AP′，表示出tanθ，即可確定出tanθ的值．

解答： 解：∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，
∴BC=20cm，
過P作PP′⊥BC，交BC于P′，連接AP′，則tanθ=

PP′

AP′

，
設(shè)BP′=x，則CP′=20-x，
由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=

3

3

（20-x），
在直角△ABP′中，AP′=

225+x2

，
∴tanθ=

3

3

•

20-x

225+x2

，
令y=

20-x

225+x2

，則函數(shù)在x∈[0，20]單調(diào)遞減，
∴x=0時(shí)，取得最大值為

20 3

45

=

4 3

9

，
若P′在CB的延長線上，PP′=CP′tan30°=

3

3

（20+x），
在直角△ABP′中，AP′=

225+x2

，
∴tanθ=

3

3

•

20+x

225+x2

，
令y=

(20+x)2

225+x2

，則y′=0可得x=

45

4

時(shí)，函數(shù)取得最大值

5 3

9

，
則tanθ的最大值是

5 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，銳角三角函數(shù)定義，以及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．