Question

【題目】已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是________.

Answer 1

【答案】3

【解析】

由＝2可得點A，B的坐標之間的關系，再用點A，B的坐標表示直線的方程，進而可求直線AB與x軸的交點坐標。將△ABO分割成△ACO與△CBO兩個小三角形，進而用A，B的坐標表示△ABO與△AFO面積的和，再結合點A，B的坐標之間的關系化簡，進而利用基本不等式即可求解。

如圖，可設A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，則＝(m2，m)，＝(n2，n)，＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.

∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0).

S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，則S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥，當且僅當，即m=時等號成立.故△ABO與△AFO面積之和的最小值為3.