Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）若實數為整數，且對任意的時，都有恒成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）1.

【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得導函數的解析式，然后結合導函數的符號討論原函數的單調性，從而可確定函數的極值；

(Ⅱ)結合題意分離參數，然后構造新函數，研究構造的函數，結合零點存在定理找到隱零點的范圍，最后利用函數值的范圍即可確定整數m的最小值.

(Ⅰ)設，

∴，

令，則；，則；

∴在上單調遞增，上單調遞減，

∴，無極小值.

(Ⅱ)由，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

設，則，

顯然，

設，則，故在上單調遞減

由，，

由零點定理得，使得，即

且時，，則，

時，. 則

∴在上單調遞增，在上單調遞減

∴，

又由，，則

∴由恒成立，且為整數，可得的最小值為1.