Question

【題目】設為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于、兩點.

（1）若，求此時直線的方程；

（2）若與直線垂直的直線過點，且與拋物線相交于點、，設線段、的中點分別為、，如圖，求證：直線過定點；

（3）設拋物線上的點、在其準線上的射影分別為、，若△的面積是△的面積的兩倍，如圖，求線段中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求出拋物線的焦點坐標，由直線方程的點斜式寫出直線l的方程，和拋物線方程聯立后利用2得直線方程．

（2由（1）得點P，又直線與直線垂直，將m換為,同理可得Q（，﹣）．由此可求直線PQ的方程，可得結論；

（3）利用△的面積是△的面積的兩倍，求出N的坐標，再利用直線的斜率公式及點差法求TS中點的軌跡方程．

（1）拋物線焦點坐標為F（1，0），設直線方程為x＝my+1，

設點A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立，得：y2﹣4my﹣4＝0，

則由韋達定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②

∵2，

∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，

由①②③可得m2，∴,

∴直線方程為x＝y+1，即．

（2）由（1）得點P，又直線與直線垂直，將m換為,

同理可得Q（，﹣）．

m時，直線PQ的斜率kPQ，

直線PQ的方程為：y-2m（x﹣1﹣2），整理為m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直線PQ恒過定點E（3，0），

m＝±1時，直線PQ的方程為：x＝3，也經過點E（3，0）．

綜上所述：直線PQ恒過定點E（3，0）．

（3）設S（x1，y1），T（x2，y2），

F（1，0），準線為 x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，

設直線TS與x軸交點為N，

∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，

∵的面積是△TSF的面積的兩倍，

∴|FN|＝，∴|FN|=1,

∴xN＝2，即N（2，0）．

設TS中點為M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），

又，

∴，即y2＝2x﹣4．

∴TS中點軌跡方程為y2＝2x﹣4．