Question

已知函數 .

（1）若 的極小值為1，求a的值.

（2）若對任意 ，都有 成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） 

【解析】

試題分析：（1）先求導，利用導數的性質求出存在極小值的條件，然后求解即可；（2）利用導數的求出函數的單調性，然后在求出函數在上的極小值，可得極小值大于等于1，解之即可.

試題解析：（1）因為，所以

當a≤0時，，所以在定義域（0，+∞上單調遞減，不存在極小值；

當a>0時，令，可得  ，當 時，有， 單調遞減；當時，由， 單調遞增，

所以是函數的極小值點，故函數的極小值為，解得.

（2）由（1）可知，當a≤0時，在定義域（0，+∞上單調遞減，且在x=0附近趨于正無窮大，而，由零點存在定理可知函數在（0,1]內存在一個零點，不恒成立；

當a>0時，若恒成立，則，即a≥1，

結合（1）a≥1時，函數在（0,1]內先減后增，要使恒成立，則的極小值大于或等于1成立，所以 即，可得，綜上可得.

考點：1.求函數的導數和利用導數求函數的單調性；（2）利用導數由不等式恒成立問題求出參數.