Question

已知函數f(x)=1-

a

x

，g(x)=

lnx

x

，且函數f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直．
（I）求a的值；
（II）如果當x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），求導函數，利用導數的幾何意義，結合函數f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直，可求a的值；
（II）由（I）可得f(x)=1-

1

x

，當x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，即t×

lnx

x

≤1-

1

x

(0＜x＜1)恒成立，進而構造函數h（x）=tlnx-x+1（0＜x＜1），確定函數的單調性，分類討論，從而可確定t的取值范圍．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f′(x)=

a

x2

∴f′（1）=a
∵函數f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直
∴f′（1）=1
∴a=1；
（II）由（I）可得f(x)=1-

1

x

，
當x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，即t×

lnx

x

≤1-

1

x

(0＜x＜1)恒成立
∴tlnx≤x-1（0＜x＜1）恒成立
顯然t≤0時，式子不恒成立
t＞0時，式子tlnx≤x-1（0＜x＜1）可化為tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）
構造函數h（x）=tlnx-x+1（0＜x＜1），
∴h′(x)=

t

x

-1
令h′(x)=

t

x

-1＞0可得0＜x＜t，令h′(x)=

t

x

-1＜0可得x＞t，
∴t∈（0，1），h（t）＞h（1）=0，h（x）=tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）不恒成立
t∈[1，+∞），x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）=0，h（x）=tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）恒成立
綜上可得，t的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查構造法的運用，考查分類討論的數學思想．